Eksponen dan Logaritma

Halo sobat Synaoo !! Pada postingan kali ini Synaoo.com mau bagi-bagi ilmu lagi nih tentang materi Eksponen dan Logaritma. Pada kurikulum 2013 sobat akan menemui materi ini di bangku SMA saat di kelas 10 semester 1.

Apakah materi eksponen dan logaritma sulit? Tenang saja sobat tidak ada yang sulit jika kita mau berusaha dan terus belajar. Pengalaman admin sendiri nih, bab ini nggak sulit-sulit amat kok atau bisa dibilang masuk dalam kategori lumayan mudah untuk dipelajari mengingat eksponen dan logaritma ini merupakan materi matematika awal di sekolah menengah atas.

Berikut ini adalah pembahasan materi eksponen dan logaritma selengkapnya.

EKSPONEN

Apa itu eksponen? Eksponen adalah suatu bentuk perkalian dengan bilangan yang sama yang di ulang-ulang atau singkatnya adalah perkalian yang diulang-ulang.

Atau pengertian lainnya yaitu eksponensiasi adalah sebuah operasi matematika, ditulis sebagai bⁿ, melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok b dan eksponen atau pangkat n. Ketika n adalah bilangan bulat positif, eksponensiasi adalah perkalian berulang dari basis: yaitu, bⁿ adalah produk dari mengalikan basis n.

Eksponen dapat berupa bentuk pangkat dan bentuk akar.

1. Bentuk Pangkat

a. Pengertian Bentuk Pangkat

Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real, maka a pangkat n didefinisikan sebagai berikut.

a disebut bilangan pokok, sedangkan n disebut bilangan pangkat.

Pengertian pangkat tersebut dapat diperluas untuk a ≠ 0 yaitu:

a^0=1 a^{-n}=\frac{1}{a^n}

b. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Jika a dan b bilangan pokok serta m dan n suatu pangkat, berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

a^mxa^n=a^{m+n} \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},a\neq0 (a^m)^n=a^{mn} (axb)^n=a^nxb^n \left ( \frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n},b\neq0

c. Persamaan dan Pertidaksamaan Bentuk Pangkat

Bentuk-bentuk dasar persamaan dan pertidaksamaan bentuk pangkat beserta penyelesaiannya.

(1) Untuk a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, dan a ≠ b

Jika:a^{f(x)}=a^m, maka: f(x) = m Jika:a^{f(x)}=a^{g(x)}, maka: f(x) = g(x) Jika:a^{f(x)}=b^{f(x)},makaf(x)=0

(2) Untuk a > 1

Jika:a^{f(x)} \geq a^{g(x)},maka:f(x) \geq g(x) Jika:a^{f(x)} \leq a^{g(x)},maka:f(x) \leq g(x)

(3) Untuk 0 < a < 1

Jika:a^{f(x)} \geq a^{g(x)},maka:f(x) \leq g(x) Jika:a^{f(x)} \leq a^{g(x)},maka:f(x) \geq g(x)

2. Bentuk Akar

a. Pengertian Bentuk Akar

Untuk a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif berlaku:

b^n=a \leftrightarrow b = \sqrt [n] {a} \sqrt [n] {a} = a^{\frac{1}{n}}

b. Sifat-Sifat Bentuk Akar

\sqrt [n] {a^m} = a^{\frac {m}{n}} p \sqrt [n] {a} + q \sqrt [n] {a} = (p+q) \sqrt [n] {a} p \sqrt [n] {a} - q \sqrt [n] {a} = (p-q) \sqrt [n] {a} \sqrt [n] {ab} = \sqrt [n] {a} x \sqrt [n] {b} \sqrt [n] {\frac {a} {b}} = \frac {\sqrt [n] {a}} {\sqrt [n] {b}}, b \neq 0 \sqrt [m] {\sqrt [n] {a}} = \sqrt [mn] {a}

c. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar

Untuk dapat merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar, kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan dari penyebut.

Bentuk sekawan dari \sqrt {b} + \sqrt {c} adalah
\sqrt {b} - \sqrt {c} sedangkan bentuk sekawan dari
\sqrt {b} - \sqrt {c} adalah \sqrt {b} + \sqrt {c}

1) \frac {a} {\sqrt {b}} = \frac {a} {\sqrt {b}} x \frac {b} {\sqrt {b}} = \frac {a} {b} \sqrt {b} 2) \frac {a} {\sqrt {b} + \sqrt {c}} = \frac {a} {\sqrt {b} + \sqrt {c}} x \frac {\sqrt {b} - \sqrt {c} } {\sqrt {b} - \sqrt {c}} = \frac {a} {b-c} (\sqrt {b} - \sqrt {c}) 3) \frac {a} {\sqrt {b} - \sqrt {c}} = \frac {a} {\sqrt {b} - \sqrt {c}} x \frac {\sqrt {b} + \sqrt {c} } {\sqrt {b} + \sqrt {c}} = \frac {a} {b-c} (\sqrt {b} + \sqrt {c})

LOGARITMA

1. Pengertian Logaritma

Jika A dan P bilangan positif dengan P ≠ 1, maka berlaku:

^p logA= n \leftrightarrow p^n = A

Dari hubungan di atas diperoleh:

P^0 = 1 \leftrightarrow ^P log 1 = 0 P^1 = P \leftrightarrow ^P log P = 1 P^n = P^n \leftrightarrow ^P log P^n = n

2. Sifat-Sifat Logaritma

^P log (AB) = ^P log A + ^P log B ^P log \frac {A} {B} = ^P log A - ^P log B ^P log A^N = N . ^P log A ^A log B . ^B log C = ^A log C ^P log A = \frac {^N log A} {^N log P} P^{^Plog A} = A ^{P^B} logC^D = \frac {D} {B} x ^Alog C

3. Persamaan Logaritma

Bentuk-bentuk persamaan logaritma dan penyelesaiannya.

Jika: ^alog F(x) = ^alog M, F(x) > 0, maka F(x) = m Jika : ^a log F(x) = ^b log G(x), a \neq b, maka F(x)=1 Jika : ^alog F(x) = ^a log G(x), F(x) > 0, dan G(x) > 0 maka F(x)=G(x) Jika : ^{f(x)}log G(x) = ^{F(x)}log H(x), F(x) > 0, G(x) > 0, H(x)>0, F(x) \neq1, maka G(x)=H(x)

4. Pertidaksamaan Logaritma

Bentuk pertidaksamaan logaritma misalnya ^alog F(x) > ^alog G(x). Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ditentukan dengan langkah-langkah berikut.

1). Tentukan nilai x yang memenuhi F(x) > 0.

2) Tentukan nilai x yang memenuhi F(x) > 0.

3) Selesaikan ^alog F(x) > ^alog G(x) dengan syarat F(x) > G(x) jika A>1 F(x) < G(x) jika 0<A<1

4) Rangkum semua nilai x yang diperoleh dari langkah 1), 2), dan 3).

Baca Juga : Materi Dimensi Tiga

Sekian pembahasan mengenai materi Eksponen dan Logaritma dari Synaoo.com. Semoga materi yang disampaikan dapat bermanfaat dan sobat mampu mengerjakan soal eksponen dan logaritma.

Selamat Belajar !!