BUNGA, PERTUMBUHAN, PELURUHAN, INDUKSI MATEMATIKA
 |
| Bunga |
Bunga
Bunga adalah imbalan jasa yang diberikan oleh pemakai modal kepada pemilik modal, berdasarkan kesepakatan bersama.
🔔 Bunga Tunggal
Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga tetap setiap periode.
Rumus : Mn = M0+ bunga
= M0 + n.i.M
= M0(1+n.i)
🔔 Bunga Majemuk
Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.
Rumus : Mn = M0 (1+P)n
🔔 Pertumbuhan
Pertumbuhan dapat diartikan semakin lama sebakin bertambah
Pada materi kali ini, jenis pertumbuhan yang dipelajari ada 2, yaitu :
➤ Pertumbuhan penduduk
Jika mula-mula pertumbuhan penduduk adalah P0 dan setiap tahun bertambah r x jumlah sebelumnya. Maka setelah n tahun, jumlah pertumbuhna diprediksikan menjadi.
Rumus : Pn = P0 (1+r)n
➤ Pembelahan Sel
Misalkan bakteri mula-mula adalah A0 dan membelah diri r ksli jumlah sebelumnya setiap periode, maka setelah n periode, jumlah bakteri menjadi.
Rumus : An = A0 . rn
🔔 Peluruhan
Jika jumlah benda mula-mula adalah P0 dan setiap periode berkurang r kali jumlah sebelumnya, maka setelah n periode, jumlahnya menjadi.
Rumus : Pn = P0 (1-r)n
🔔 Induksi Matematika
➤ Induksi matematika adalah cara membuktikan dalam matematika menggunakan penalaran deduktif
➤ Cara pengambilan kesimpulan :
1. Penalaran Induktif
Cara mengambil kesimpulan yang dimulai dari hal-hal yang khusus menuju hal-hal yang umum, kebenarannya tidak mutlak dan berlaku di ilmu non matematika.
2. Penalaran Deduktif
Cara pengambilan kesimpulan dari hal umum ke hal yang khusus, kebenarannya mutlak, berlaku di ilmu matematika.
➤ Prinsip Induksi Matematika
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan dimana kebenarannya ditentukan oleh nilai n. Jika P(n) memenuhi dua sifat berikut.
1. P(n) itu benar untuk n=1
2. Untuk setiap bilangan asli k, jika P(k) bernilai benar maka P(k+1)
➤ Langkah-langkah Induksi Matematika
Pernyataan Pn benar jika dapat dibuktikan dengan langkah :
1. Harus dibuktikan P (1) benar.
2. Diandaikan Pk benar maka harus dibuktikan P (k+1) juga benar
3. Kesimpulan
🔎Ayo Mencoba
Latihan Soal Bunga Tunggal
Mamat menabung di bank sebesar Rp 1.000.000 dengan bunga tunggal 10% per tahun. Tentukan saldo bunga selama 3 tahun!
Diketahui :
Mo = 1.000.000
i = 10% = 0,1
n = 3 tahun
Jawab
Mn = Mo (1 + n.i)
M3 = 1.000.000 (1+ 3.0,1)
M3 = 1.000.000 x 1,3
M3 = 1.300.000
Hana menabung di bank sebesar Rp 500.000 dengan bunga tunggal 5% yang dibayarkan setiap 6 bulan sekali. Berapa saldo tabungan Hana jika diambil setelah 42 bulan?
Diketahui :
Mo = 500.000
i = 10%/tahun = 0,1
n = 36 bulan = 3,5 tahun
Jawab
Mn = Mo (1 + n.i)
M3 = 500.000 (1+3,5.0,1)
M3 = 500.000 (1,35)
M3 = 675.000
Latihan Soal Bunga Majemuk
Suatu modal sebesar Rp 1.000.000 diinvestasikan selama 3 tahun dengan bunga sebesar 8%. Tentukan besar modal jika menggunakan bunga majemuk.
a. Tahunan
b. Tiap 3 bulan
c. Harian
Diketahui :
Mo = 10.000.000
P = 8% = 0,08
n = 3
Jawab
a. Mn = M0 (1+P)n
= 1.000.000 (1+0,08)3
= 1.000.000 (1,08)3
= 1.259712
b. Mn = M0 (1+P)n
= 1.000.000 (1+0,08)12
= 1.000.000 (1,08)12
= 2,518.170,12
c. Mn = M0 (1+P)n
= 1.000.000 (1+0,08)1095
= 1.000.000 (3,97)
= 3.970.000
Latihan Soal Pertumbuhan
Bakteri membelah selama 2 jam. Pada awalnya jumlah bakteri sebanyak 1.000 bakteri.
a. Apakah termasuk pertumbuhan atau peluruhan?
b. Banyak bakteri setelah 10 jam
c. Banyak bakteri setelah 20 jam
d. Banyak bakteri setelah n jam
Diketahui:
A0 = 1000 bakteri
r = 2
Jawab
a. Pertumbuhan
b. An = A0 x rn
A5 = 1.000 x 25
A5 = 1.000 x 32
A5 = 32.000
c. An = A0 x rn
A5 = 1.000 x 210
A5 = 1.000 x 1.024
A5 = 1.024.000
d. An = A0 x rn
Pada tahun 2010, banyak penduduk di suatu kota sebanyak 200.000 orang. Setiap tahun jumlah penduduk meningkat 10%. Tentukan banyak penduduk pada tahun 2015!
Diketahui :
P0 = 200.000
r = 10% = 0,1
n = 5
Jawab
Pn = P0 (1+r)n
P5 = 200.000 (1+0,1)5
P5 = 200.000 (1,1)5
P5 = 200.000 x 1,61051
P5 = 322.102
Latihan Soal Peluruhan
Dokter mendiagnosa pasiennya bahwa masih terinfeksi 800.000 bakteri. Dokter meningkatkan dosis obat untuk membunuh 10% bakteri setiap 6 jam. Tentukan banyak bakteri setelah 24 jam.
Diketahui :
P0 = 800.000
r = 10% = 0,1
t = 6
n = 24/6 = 4
Jawab
Pn = P0 (1-r)n
P4 = 800.000 (1-0,1)4
P4 = 800.000 (0,9)4
P4 = 800.000 x 0,6561
P4 = 524.880
Latihan Soal Induksi Matematika
Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa n jumlah suku pertama bilangan asli adalah P(n) = 1+2+3+…..+ n = 1/2 n(n+1)
Jawab
[1] P(1) = 1 = 1/2.n(n+1)
= 1/2.1(1+1)
= 1/2 .2
1 = 1 →→→ Jadi P(1) benar
[2] Andaikan P(k) = 1+2+3+…+k = 1/2 k(k+1)
Harus dibuktikan P(k+1) benar
P(k+1) = 1+2+3….+k + (k+1) = 1/2 (k+1) ((k+1) +1)
= 1/2 (k+1) (k+2)
Ruas kiri
= 1+2+3+….+k+(k+1)
= 1/2 k (k+1) + (k+1)
= 1/2 k (k+1) + 1/2 .2 (k+1)
= 1/2 (k+1) (k+2) = Ruas kanan
Jadi P(k) benar, maka p(k+1) juga benar
[3] Kesimpulan
Karena P(1) benar dan jika P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka dapat disimpulkan 1+2+3+…..+ n = 1/2 n(n+1)
bang kok gak ada contoh soalnya
sabar bang,, masih proses
Mas kok gak ada keterangannya:”